Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分別是A₁C₁，BC的中點．
（1）證明：AB⊥平面BB₁C₁C；
（2）設P是BE的中點，求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

Answer 1

分析 （1）用勾股定理證明AB⊥BC，由直棱錐的性質可得AB⊥BB₁ ，即可證明AB⊥面BB₁C₁C；
（2）在棱AC上取中點G，在BG上取中點O，則PO∥BB₁，過O作OH∥AB交BC與H，則OH為棱錐的高，求出OH的值和△B₁C₁F的面積，代入體積公式進行運算即可得答案．

解答 （1）證明：在△ABC中，∵AC=4，CB=2，∠ACB=60°，∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC．   
由已知AB⊥BB₁，∴AB⊥面BB₁C₁C；
（2）解：在棱AC上取中點G，連接EG、BG，在BG上取中點O，連接PO，則PO∥BB₁，
∴點P到面BB₁C₁C的距離等于點O到平面BB₁C₁C的距離．
過O作OH∥AB交BC與H，則OH⊥平面BB₁C₁C，在等邊△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{3}{S}_{{B}_{1}{C}_{1}F}•OH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，求棱錐的體積，作出棱錐的高OH是解題的難點和關鍵，是中檔題．