Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若直線y=3x-1是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，e²]上的最大值為1-ae（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到x=$\frac{1}{a+3}$，求出f（ $\frac{1}{a+3}$）=ln $\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$，代入直線y=3x-1求得a值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類(lèi)得到函數(shù)在[1，e²]上的單調(diào)性，并進(jìn)一步求出函數(shù)在[1，e²]上的最大值，由最大值等于1-ae求得a值；

解答 解：（1）由f（x）=lnx-ax，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=3，
∴x=$\frac{1}{a+3}$，則f（ $\frac{1}{a+3}$）=ln $\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$，
∴l(xiāng)n $\frac{1}{a+3}$-$\frac{a}{a+3}$=$\frac{3}{a+3}$-1，得ln $\frac{1}{a+3}$=0，即a=-2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f′（x）≥0在[1，e²]上恒成立，故f（x）在[1，e²]上為增函數(shù)，
故f（x）的最大值為f（e²）=2-ae²=1-ae，得a=$\frac{1}{{e}^{2}-e}$（舍）；
當(dāng) $\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜1時(shí)，若x∈[1，$\frac{1}{a}$]，f′（x）＞0，x∈[$\frac{1}{a}$，e²]，f′（x）＜0，
故f（x）在[1，e²]上先增后減，故f（x）max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1
由-lna-1=1-ae，解得a=$\frac{1}{e}$；
當(dāng)a≥1時(shí)，故當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）是[1，e²]上的減函數(shù)，
故f（x）_max=f（1）=-a=1-ae，得a=$\frac{1}{e-1}$（舍）；
綜上，a=$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論，是一道中檔題．