Question

1．已知函數(shù)f（x）=a（2cos²$\frac{x}{2}$+sinx）+b．
（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱軸方程；
（2）當a＞0時，且x∈[0，π]時，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，π]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即求a，b的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=a（2cos²$\frac{x}{2}$+sinx）+b．
化解可得：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b，即f（x）=a$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）+b+a，
（1）當a=1時，f（x）=$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）+b+1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x$+\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$2kπ-\frac{3π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}+2kπ$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[$2kπ-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}+2kπ$]，k∈Z．
令x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
可得：x=$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
∴對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z．
（2）當a＞0時，且x∈[0，π]時，f（x）=a$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）+b+a，（a＞0）
∴$\frac{π}{4}≤$x$+\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{4}$
當x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為a$\sqrt{2}$+b+a．
當x$+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為：a$\sqrt{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+b+a．
由題意可得：a$\sqrt{2}$+b+a=4，a$\sqrt{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+b+a=3
解得：a=$\sqrt{2}-$1，b=3．
∴當a＞0時，且x∈[0，π]時，f（x）的值域是[3，4]，a=$\sqrt{2}-1$．b=3．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．