Question

3．已知函數(shù)f（x）=2x²+2x-b，定義域?yàn)椋?1，+∞）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f（x）=2x²+2x-b=0，有一個(gè)根，利用參數(shù)分離法，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為f（x）=2x²+2x-b=0，有2個(gè)根，結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）=2x²+2x-b=0，有一個(gè)根，
即b=2x²+2x在（-1，+∞）上有一個(gè)根，
設(shè)g（x）=2x²+2x，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
則g（x）=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$≥-$\frac{1}{2}$
若b=2x²+2x在（-1，+∞）上有一個(gè)根，
則b=-$\frac{1}{2}$或b≥0，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是b=-$\frac{1}{2}$或b≥0．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)為b=2x²+2x在（-1，+∞）上有2個(gè)根，
則-$\frac{1}{2}$＜b＜0．
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是-$\frac{1}{2}$＜b＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．