Question

13．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，M是AB邊上的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①若PA⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB邊的中點(diǎn)，則有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為$\frac{15}{2}$；
④若PB=5，PB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球體積為$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$；
其中正確命題是①②④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)空間中的垂直關(guān)系，推出三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形；
②根據(jù)空間中的垂直關(guān)系與三角形全等，證出PA=PB=PC；
③根據(jù)圖形求出△PCM面積的最小值為6；
④利用直三棱錐P-ABC的外接球是以AC、BC、PB為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球，求出球的半徑即可．

解答 解：對(duì)于①，如圖0所示；
PA⊥平面ABC，
AC?平面ABC，∴PA⊥AC，∴△PAC是直角三角形；
同理，△PAB是直角三角形，
又△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，△ABC是直角三角形；
又PA⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形；
即三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形，
①正確；
對(duì)于②，如圖1所示，
∵△ABC是直角三角形，且M是AB的中點(diǎn)，
∴MA=MB=MC；
又PM丄平面ABC，
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
∴PA=PB=PC，②正確；
對(duì)于③，如圖2所示，
當(dāng)PC⊥面ABC時(shí)，△PCM的面積為$\frac{1}{2}$×PC×CM=$\frac{1}{2}$×5×CM；
又∵CM作為垂線段時(shí)最短．為$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴△PCM面積的最小值為$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6，③不正確；
對(duì)于④，如圖3所示，
當(dāng)PB=5，PB⊥平面ABC時(shí)，
AB=5，BC=4，AC=3，
∴直三棱錐P-ABC的外接球可以看做是
AC=3，BC=4，PB=5為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球，
∴2R=PA=5$\sqrt{2}$，
∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
其體積為$\frac{4π}{3}$•${（\frac{5\sqrt{2}}{2}）}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$，④正確．
綜上，正確的命題為①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間中的角與距離的計(jì)算問題，是綜合性題目