Question

12．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=3，PA=$\sqrt{11}$，AC∩BD=O．
（1）設(shè)平面ABP∩平面DCP=l，證明：l∥AB；
（2）若E是PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE的體積V_P-BCE．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)AB∥DC，證明AB∥平面PDC．利用平面ABP∩平面DCP=l，推出l∥AB．
（2）說(shuō)明BO是三棱錐B-PCE的高．求出${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}AC•PO=2\sqrt{6}$，利用等體積法，轉(zhuǎn)化求解幾何體的體積即可．

解答 解：（1）因?yàn)锳B∥DC，AB?平面PDC，DC?平面PDC，所以AB∥平面PDC．
又平面ABP∩平面DCP=l，且AB?平面ABP，所以l∥AB．
（2）因?yàn)榈酌媸橇庑危�所以BD⊥AC．因?yàn)镻B=PD，且O是BD中點(diǎn)，所以BD⊥PO．
又PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．所以BO是三棱錐B-PCE的高．
因?yàn)锳O為邊長(zhǎng)為2的等邊△ABD的中線，所以$AO=\sqrt{3}$．
因?yàn)镻O為等腰△PBD的高線，PB=3，OB=1所以$PO=2\sqrt{2}$．
在△POA中，$PA=\sqrt{11}$，$AO=\sqrt{3}$，$PO=2\sqrt{2}$，
所以AO²+PO²=PA²，所以PO⊥AO．
所以${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}AC•PO=2\sqrt{6}$，
因?yàn)镋是線段PA的中點(diǎn)，所以${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PAC}}=\sqrt{6}$．
所以${V_{P-BCE}}={V_{B-PCE}}=\frac{1}{3}•{S_{△PCE}}•BO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．