Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為M．
（1）求M．
（2）若a，b，c∈（0，+∞），a²+2b²+c²=M，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）由絕對值不等式的性質(zhì)可得|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，即可得到所求最小值；
（2）由a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²），運用重要不等式，可得最大值．

解答 解：（1）由f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當且僅當-1≤x≤2時，f（x）取得最小值，且為3．
則M=3；
（2）由a，b，c∈（0，+∞），
可得a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
即ab+bc≤$\frac{1}{2}$M，
當且僅當a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，等號成立．
此時，ab+bc取得最大值$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法和運用，主要考查絕對值不等式的性質(zhì)和重要不等式的解法，屬于中檔題．