Question

7．在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發(fā)經過BC、CA反射后又回到點P，光線交線段BC于點Q，交線段CA于點R，若光線QR經過△ABC的重心，求線段AP的長度．

Answer 1

分析 建立坐標系，可得直線方程和重心坐標，由反射原理可得P的兩個對稱點坐標，可得直線方程，進而可得P的坐標，可得AP長度．

解答 解：由題意建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（4，0），C（0，4），可得BC的方程為x+y=4，可得重心（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）
設P（a，0），則P關于AC即y軸的對稱點P′（-a，0），
設P關于BC的對稱點P″（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+a}{2}+\frac{n+0}{2}=4}\\{\frac{n-0}{m-a}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=4-a}\end{array}\right.$，即P″（4，4-a），
∴光線QR即P′P″的方程為y=$\frac{4-a}{4+a}$（x+a），
代入（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）可得$\frac{4}{3}$=$\frac{4-a}{4+a}$（$\frac{4}{3}$+a），
解得a=$\frac{4}{3}$或a=0（舍去）
∴線段AP的長度為$\frac{4}{3}$

點評 本題考查直線和點的對稱性，涉及光的反射原理和方程組的解法，屬中檔題．