Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）比較f（1）與f（-1）的大�。�
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）考慮由函數(shù)f′（x）正負(fù)求出的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令h（a）=f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，通過研究h（a）的單調(diào)性得出h（a）的正負(fù)性，確定f（1）與f（-1）的大小關(guān)系；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）_max⁼f（1）=a+1-lna，由題意知，f（x）_max^-f（x）_min≤e-1，
即a+1-lna-1≤e-1，a-lna-e+1≤0，求得a∈（1，e]．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max⁼f（-1）=

1

a

+1+lna，由題意知，f（x）_max^-f（x）_min≤e-1，得a∈[

1

e

，1）．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a^xlna+2x-lna，令g（x）=f′（x）=a^xlna+2x-lna，則g′（x）=a^xln2a+2＞0，∴g（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
又∵g（0）=0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）．
（Ⅱ）f（1）-f（-1）=a+1-lna-

1

a

-1-lna=a-

1

a

-2lna，
設(shè)h（a）=a-

1

a

-2lna，則h′（a）=1+

1

a2

-

2

a

=

a2-2a+1

a2

=

(a-1)2

a2

＞0．
故h（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，h（a）＜h（1）=0，即f（1）＜f（-1），
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，h（a）＞h（1）=0，即f（1）＞f（-1）．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，
由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，
由（Ⅱ）知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）_max⁼f（1）=a+1-lna，
由題意知，f（x）_max^-f（x）_min≤e-1，
即a+1-lna-1≤e-1，a-lna-e+1≤0，（a∈（1，+∞））．
設(shè)F（a）=a-lna-e+1，則F′（a）=1-

1

a

=

a-1

a

＞0，
故F（a）在（1，+∞）單調(diào)遞增．
又∵F（e）=e-1-e+1=0，由F（a）≤0，得a∈（1，e]．①
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）_max⁼f（-1）=

1

a

+1+lna，
由題意知，f（x）_max^-f（x）_min≤e-1，
即

1

a

+1+lna-1≤e-1，也就是

1

a

+lna-e+1≤0，
設(shè)F（a）=

1

a

+lna-e+1，則F′（a）=-

1

a2

+

1

a

=

a-1

a2

＜0，
故F（a）在（0，1）單調(diào)遞減．
又∵F（

1

e

）=e-1-e+1=0，由F（a）≤0，得a∈[

1

e

，1）．②
綜合①②可得a∈[

1

e

，1）∪（1，e]．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題目，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，考查分析解決問題的能力．