Question

給出兩個命題，
命題甲：關于x的不等式：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅；
命題乙：正比例函數y=（2a²-a-1）x圖象經過第一、三象限．
分別求出符合下列條件的a的取值范圍：
（1）甲、乙 都是真命題；
（2）甲、乙 至少有一個是真命題．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：不等式的解法及應用

分析：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅?x²+（a-1）x+a²≥0恒成立⇒a≥

1

3

或a≤-1；
正比例函數y=（2a²-a-1）x圖象經過第一、三象限⇒2a²-a-1＞0，解得：a＞1或a＜-

1

2

；
（1）甲、乙 都是真命題，解不等式組

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

即可求得a的取值范圍；
（2）甲、乙至少有一個是真命題，

解答： 解：命題甲：關于x的不等式：x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅?x²+（a-1）x+a²≥0恒成立，則△=（a-1）²-4a²≤0，解得：a≥

1

3

或a≤-1；
命題乙：正比例函數y=（2a²-a-1）x圖象經過第一、三象限，則2a²-a-1＞0，解得：a＞1或a＜-

1

2

；
（1）若甲、乙都是真命題，則

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

解得：a＞1或a≤-1；
（2）若甲、乙至少有一個是真命題，則

a≥ 1 3 或a≤-1 - 1 2 ≤x≤1

①或

-1＜a＜ 1 3 a＞1或a＜- 1 2

②，或

a≥ 1 3 或a≤-1 a＞1或a＜- 1 2

③；
解①得：

1

3

≤a≤1；解②得：-1＜a＜-

1

2

；解③得：a＞1或a≤-1；
綜上所述，a的取值范圍為：a≤-

1

2

或a≥

1

3

．

點評：本題考查不等式的解法及應用，著重考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．