Question

如果數(shù)列{a_n}中，相鄰兩項(xiàng)a_n和a_n+1是二次方程x_n²+3nx_n+C_n=0的兩個(gè)根，當(dāng)a₁=2時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式和C₁₀₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立遞推關(guān)系，構(gòu)造方程組即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n和a_n+1是二次方程x_n²+3nx_n+C_n=0的兩個(gè)根，
∴a_n+a_n+1=-3n，①a_na_n+1=C_n，
則a_n+2+a_n+1=-3（n+1）=-3n-3，②，
則②-①得a_n+2-a_n=-3，即當(dāng)所有的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，公差都為-3，
∵a₁=2，∴a₂=-3-2=-5，
若n是奇數(shù)，則a_n=2+（-3）×（

n+1

2

-1）=

7-3n

2

，（此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為

n+1

2

）
若n是偶數(shù)，則a_n=-5+（-3）×（

n

2

-1）=

-3n-4

2

，（此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為

n

2

）．
故{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

7-3n 2 ， n是奇數(shù) -3n-4 2 n是偶數(shù)

．
則C₁₀₀=a₁₀₀a₁₀₁=

-3×100-4

2

×

7-3×101

2

=152×148=22496．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及遞推數(shù)列的應(yīng)用，構(gòu)造方程組結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．