Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．
（1）當(dāng)m=

5

4

時，判斷圓C與直線l的位置關(guān)系；
（2）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
（3）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過O點，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）利用點到直線的距離公式即可得出圓心到直線的距離，與半徑比較大小即可得出．
（2）將圓的方程配方，得（x+

1

2

）²+（y-3）²=

37-4m

4

，可得

37-4m

4

＞0，將直線l的方程與圓C的方程組成方程組，利用△＜0即可得出．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由OP⊥OQ，得=0，x₁x₂+y₁y₂=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)m=

5

4

時，圓C：（x+

1

2

）²+（y-3）²=8，
圓心到直線l的距離d=

|- 1 2 +2×3-3|

5

=

5

2

＜2

2

，
∴圓C與直線l相交；
（2）將圓的方程配方，得（x+

1

2

）²+（y-3）²=

37-4m

4

，
故有

37-4m

4

＞0，解得m＜

37

4

．
將直線l的方程與圓C的方程組成方程組，
消去y，得x²+（

3-x

2

）²+x-6×

3-x

2

+m=0，
整理，得5x²+10x+4m-27=0，①
∵直線l與圓C沒有公共點，
∴方程①無解，故有△=10²-4×5（4m-27）＜0，解得m＞8．
∴m的取值范圍是（8，

37

4

）．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，②
由（1）及根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

③
又∵P、Q在直線x+2y-3=0上，
∴y₁•y₂=

3-x1

2

•

3-x2

2

=

1

4

[9-3（x₁+x₂）+x₁•x₂]，將③代入上式，得y₁•y₂=

m+12

5

，④
將③④代入②得x₁•x₂+y₁•y₂=

4m-27

5

+

m+12

5

=0，解得m=3，
代入方程①檢驗得△＞0成立，∴m=3．

點評：本題考查了直線與圓位置關(guān)系、相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．