Question

20．設(shè)OADB是平行四邊形，其對角線相交于C點，$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，
試求向量$\overrightarrow{MN}$與向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把向量$\overrightarrow{MN}$用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$來表示，可先表示出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{MC}$以及$\overrightarrow{CN}$，再表示出$\overrightarrow{MN}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{0B}$）；
又∵$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）；
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OB}$．

點評 本題考查了向量的線性運算的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題目．