Question

5．當n∈N^*時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，記S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）（n∈N^*），則：
（1）S（3）=16；
（2）S（n）=4^n-1．

Answer 1

分析 由題意當n∈N^*時，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，利用此定義有知道N（2ⁿ）=1，當n為奇數(shù)時，N（n）=n，在從2^n-1到2ⁿ-1這2^n-1個數(shù)中，奇數(shù)和偶數(shù)各有2^n-2個．且在這2^n-2個偶數(shù)中，不同的偶數(shù)的最大奇因數(shù)一定不同，那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1），利用累加法即可求得．

解答 解：∵N（2ⁿ）=1，
∴當n為奇數(shù)時，N（n）=n，
在從2^n-1到2ⁿ-1這2^n-1個數(shù)中，奇數(shù)有2^n-2個，偶數(shù)有2^n-2個．
在這2^n-2個偶數(shù)中，不同的偶數(shù)的最大奇因數(shù)一定不同，
從2^n-1到2ⁿ-1共有2^n-1個數(shù)，而1到2ⁿ-1共有2^n-1個不同的奇數(shù)，
故有N（2^n-1）=2¹-1=1，N（2^n-1+1）=2²-1=3，…，N（2ⁿ-1）=2ⁿ-1．
那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）
=1+3+5+…+2ⁿ-1=$\frac{{2}^{n-1}（1+{2}^{n}-1）}{2}={4}^{n-1}$．
故答案為：．（1）16；         （2）4^n-1

點評 本題主要考查合情推理的應用，考查了學生對于新定義的準確理解，另外找準要求的和式具體的數(shù)據(jù)，有觀察分析要求的和式的特點選擇累加求和，并計算中需用等比數(shù)列的求和公式，重點是了學生的理解能力及計算能力．