Question

2．已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知菱形EFGH的頂點E、G在橢圓C₁上，頂點F、H在直線7x-7y+1=0上，求直線EG的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知橢圓的短軸和焦點可代入橢圓方程求出橢圓方程
（Ⅱ）頂點F、H在直線7x-7y+1=0上，EFGH為菱形，EG垂直FH，設(shè)直線EG的方程為y=-x+m，然后直線與橢圓聯(lián)立方程，利用韋達定理列式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，F(xiàn)（c，0）．由題意知
解得$b=\sqrt{3}$，c=1．               …（3分）
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．    …（4分）
（Ⅱ）頂點F、H在直線7x-7y+1=0上，EFGH為菱形，EG⊥FH，設(shè)直線EG的方程為y=-x+m．
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$⇒7x²-8mx+4m²-12=0
∵E、G在橢圓C₁上，∴△＞0，∴m²＜7，∴$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8m}{7}$．…（9分）
y₁+y₂=（-x₁+m）（-x₂+m）=-（x₁+x₂）$+2m=-\frac{8m}{7}+2m=\frac{6m}{7}$．
∴EG的中點坐標為（$\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}$），由EFGH為菱形可知，點（$\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}$）在直線FH：7x-7y+1=0上，
∴$7-\frac{4m}{7}-7×\frac{3m}{7}+1=0，m=-1$
∴$m=-1∈（-\sqrt{7}，\sqrt{7}）$．
∴直線EG的方程為y=-x-1．
即x+y+1=0           …（13分）

點評 本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題，在高考中經(jīng)常涉及．