Question

12．已知結(jié)論：“在△ABC中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$”，若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB與平面ACD、平面BCD所成的角為α、β，則有（　�。�”

• A． $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$
• B． $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$
• C． $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$
• D． $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$

Answer 1

分析 分別過B、A作平面ACD、平面BCD的垂線，垂足分別為E、F，則∠BAE=α，∠ABF=β，利用三棱錐的體積計(jì)算公式、類比正弦定理即可得出．

解答 解：分別過B、A作平面ACD、平面BCD的垂線，垂足分別為E、F，則∠BAE=α，∠ABF=β，
${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•BE=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα$，${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AF=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinβ$，
又$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AB•sinβ$，
即$\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的體積計(jì)算公式、類比推力，屬于基礎(chǔ)題．