Question

5．如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖2的五棱錐P-ABFED．

（1）求證：BD⊥PA；
（2）當 PA=$\sqrt{30}$時，求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定證明BD⊥平面POA，證明BD⊥AO，PO⊥BD即可；然后證明BD⊥PA．
（2）求出底面面積與高，利用體積公式，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面QBFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．
∵PA?平面POA，
∴BD⊥PA．
（2）解：由題意可得：AO=3$\sqrt{3}$，PO⊥平面ABFED，PA=$\sqrt{30}$，
∴PO=$\sqrt{30-（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
底面ABD的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{（4）}^{2}$=4$\sqrt{3}$．
三棱錐A-PBD的體積：$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\sqrt{3}$=4．

點評 本題考查線面垂直，考查棱錐體積的計算，掌握線面垂直的判定方法，正確求體積是關(guān)鍵．