Question

9．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　�。�

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． 4
• D． $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出線面的位置關(guān)系，由勾股定理求出棱長，由三角形的面積公式求出幾何體的表面積．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱錐，
直觀圖如圖所示：D是AB的中點(diǎn)，PC⊥平面ABC，PC=2，
且底面是一個等腰直角三角形，兩條直角邊分別是1，
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥AB，
由PC∩CD=C得，AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PD，
且PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴該幾何體的表面積S=$\frac{1}{2}×1×1+2×\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=4，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．