【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，記的最小值為，求證：.

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2) 見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，代入?yún)?shù)a的值，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）通過對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到，，由得：

，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)可得到函數(shù)的最值.

（Ⅰ）的定義域是，

.

當(dāng)時，，

因為函數(shù)，單調(diào)遞增，且，

所以：當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，單調(diào)遞增區(qū)間為：；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，

，

令，則，

在上單調(diào)遞增，

因為，

所以，，

故存在，使得，

當(dāng)時，，故，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增；

故時，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，則

，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

故，即時，取最大值1，

故.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，其中a＞1．

（1）求實數(shù)m的值；

（2）討論函數(shù)f（x）的增減性；

（3）當(dāng)時，f（x）的值域是（1，＋∞），求n與a的值．

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【題目】已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）畫出函數(shù)在上的圖象；

（3）解關(guān)于的不等式（其中）.

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【題目】已知函數(shù)，直線．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）求證：對于任意，直線都不是曲線的切線；

（Ⅲ）試確定曲線與直線的交點個數(shù)，并說明理由．

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知， ， 均為正實數(shù)，且，求證 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線 (a>0，b>0)的左焦點為F(－c，0)(c>0)，過點F作圓x2＋y2＝的一條切線交圓于點E，交雙曲線右支于點P，若，則雙曲線的離心率為(　　)

A. B.

C. D. 2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知不等式ax2-5x+b＞0的解是-3＜x＜2，設(shè)A={x|bx2-5x+a＞0}，B={x|}．

（1）求a，b的值；

（2）求A∩B和A∪（UB）．

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【題目】已知二次函數(shù)有兩個零點-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）令，若，證明：在上有唯一零點.

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