Question

4．某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃3次，投中一球得1分，沒(méi)有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的．已知小明每次投籃投中的概率都是$\frac{1}{3}$．
（1）求小明在投籃過(guò)程中直到第三次才投中的概率；
（2）求小明在3次投籃后的總得分ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）設(shè)小明第i次投籃投中為事件A_i，則小明在投籃過(guò)程中直到第三次才投中是指小明前兩次都沒(méi)中，第三次中，由此能求出結(jié)果．
（2）由題意知隨機(jī)變量ξ～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）設(shè)小明第i次投籃投中為事件A_i，
則小明在投籃過(guò)程中直到第三次才投中的概率為
P=P（A₁）•P（A₂）•P（A₃）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$．…（4分）
（2）由題意知隨機(jī)變量ξ～B（3，$\frac{1}{3}$），則
P（ξ=0）=$C_3^0$（$\frac{1}{3}$） ⁰（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=1）=$C_3^1$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=2）=$C_3^2$（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=$C_3^3$（$\frac{1}{3}$）³ （$\frac{2}{3}$）⁰=$\frac{1}{27}$，…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．