Question

2．已知圓O：x²+y²=9，直線l₁：x=6，圓O與x軸相交于點(diǎn)A，B（如圖），點(diǎn)P（-1，2）是圓O內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓O上任一點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），直線AQ與l₁相交于點(diǎn)C．
（1）若過點(diǎn)P的直線l₂與圓O相交所得弦長(zhǎng)等于4$\sqrt{2}$，求直線l₂的方程；
（2）設(shè)直線BQ、BC的斜率分別為k_BQ、k_BC，求證：k_BQ•k_BC為定值．

Answer 1

分析 （1）若過點(diǎn)P的直線l₂與圓O相交所得弦長(zhǎng)等于4$\sqrt{2}$，圓心O（0，0）到直線的距離$d=\sqrt{9-{{（2\sqrt{2}）}^2}}=1$，分類討論，求直線l₂的方程；
（2）求出相應(yīng)直線的斜率，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：因直線l₂與圓O相交所得弦長(zhǎng)等于4$\sqrt{2}$，所以圓心O（0，0）到直線的距離$d=\sqrt{9-{{（2\sqrt{2}）}^2}}=1$
設(shè)直線l₂的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0
由$d=\frac{|k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解得$k=-\frac{3}{4}$
又過點(diǎn)P且與x軸垂直的直線x=-1顯然符合要求
所以直線l₂的方程是x=-1或3x+4y-5=0---------（6分）
（2）證明：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，h），則直線AC的方程為$y=\frac{h}{9}（x+3）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{h}{9}（x+3）\\{x^2}+{y^2}=9\end{array}\right.⇒\frac{{81+{h^2}}}{h^2}{y^2}-\frac{54}{h}y=0$解得${y_1}=0，{y_2}=\frac{54h}{{81+{h^2}}}$
從而得點(diǎn)$Q（\frac{{243-3{h^2}}}{{81+{h^2}}}，\frac{54h}{{81+{h^2}}}）$，
所以${k_{BQ}}=-\frac{9}{h}，{k_{BC}}=\frac{h}{3}$
所以k_BQ•k_BC=-3----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．