Question

設(shè)斜率為

2

2

的直線l與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)斜率為

2

2

的直線l：y=

2

2

x+t，代入雙曲線方程，消去y，由題意可得，方程的兩根分別為-c，c．則有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求．

解答： 解：設(shè)斜率為

2

2

的直線l：y=

2

2

x+t，
代入雙曲線方程，消去y，可得，（b²-

1

2

a²）x²-

2

a²tx-a²t²-a²b²=0，
由于點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，
則有上式的兩根分別為-c，c．
則t=0，即有（b²-

1

2

a²）c²=a²b²，由于b²=c²-a²，
則有2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，由e=

c

a

，則2e⁴-5e²+2=0，
解得e²=2（

1

2

舍去），
則e=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．