Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x-1

，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性的情況，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式求函數(shù)的定義域；
（2）若為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，依此列方程求a的值；
（3）先判斷，然后利用定義證明即可．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0得，x≠0，故函數(shù)的定義域為{x|x∈R且x≠0}；
（2）因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）恒成立，
即a-

1

2-x-1

=-a+

1

2x-1

，即2a=

1-2x

2x-1

=-1，所以a=-

1

2

．
（3）顯然，該函數(shù)是（0，+∞）上的增函數(shù)．
任取0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x1-1)(2x2-1)

，
因為0＜x₁＜x₂，且函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)．]
所以1＜2x1＜2x2，所以2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x1-2x2＜0．
所以原式f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以原函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性．要注意奇偶性的表達式是一個關(guān)于自變量的恒等式，而單調(diào)性的證明要遵循步驟嚴格進行．