Question

2．已知P（a，b）是圓x²+y²=r²外一定點(diǎn)．PA、PB是過P點(diǎn)的圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)．求證：直線AB的方程為ax+by=r²．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求出經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓的切線分別為x₁x+y₁y=r²、x₂x+y₂y=r²．而點(diǎn)P是這兩條直線的公共點(diǎn)，代入直線方程并利用比較系數(shù)法，可得所求直線AB的方程．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則設(shè)P（x，y）為過A的切線上一點(diǎn)，可得$\overrightarrow{AP}$=（x-x₁，y-y₁）
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OA}$=0，得x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化簡得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²
∵點(diǎn)A在圓x²+y²=r²上，可得x₁²+y₁²=r²
∴經(jīng)過點(diǎn)A的圓的切線為x₁x+y₁y=r²，
同理可得經(jīng)過點(diǎn)B的圓的切線為x₂x+y₂y=r²．
又∵點(diǎn)P（a，b）是兩切線的交點(diǎn)，
∴可得ax₁+by₁=r²，說明點(diǎn)A（x₁，y₁）在直線ax+by=r²上；
同理ax₂+by₂=r²，說明點(diǎn)B（x₂，y₂）在直線ax+by=r²上
因此可得直線AB方程為：ax+by=r²．

點(diǎn)評(píng) 本題求圓的切點(diǎn)弦所在直線方程，解題量請(qǐng)注意與所學(xué)過圓上一點(diǎn)的切線的聯(lián)系，體現(xiàn)由不熟悉向熟悉的轉(zhuǎn)化，并注意直線方程形的特點(diǎn)，屬于中檔題．