Question

12．如圖，已知圓O：x²+y²=1，直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的兩點A，B．
（1）求k與b的關(guān)系；
（2）若弦AB的長為$\frac{4}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由圓心到切線的距離等于圓的半徑求得k與b的關(guān)系；
（2）聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求得k的值，進(jìn)一步得到b的值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）∵直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓圓O：x²+y²=1的一條切線，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即b²=k²+1  ①；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4\frac{2^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}=\frac{4}{3}$  ②，
聯(lián)立①②解得：k=1或k=-1（舍）．
則b=$\sqrt{{k}^{2}+1}=\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為y=x+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，考查了弦長公式的應(yīng)用，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，屬中檔題．