Question

已知函數f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最大值以及取得最大值時x的集合．

Answer 1

分析：（1）先根據三角函數的二倍角公式化簡為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再由T=

2π

2

得出答案．
（2）先根據x的范圍確定2x+

π

4

的范圍，再由正弦函數的性質可求出最小值．

解答：解析：f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
 （1）最小正周期T=

2π

2

=π
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，f（x）在[

π

4

，

π

2

上遞增，在[

π

2

，

5π

4

上遞減，所以當2x+

π

4

=

π

2

時，f（x）取最大值

2

，此時x的集合為{

π

8

}

點評：本題主要考查三角函數最小正周期的求法和三角函數的最值的求法．一般都先把函數化簡為y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再解題．