Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+x，正實數(shù)x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，證明：x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），這樣令t=x₁x₂，t＞0，容易求得函數(shù)t-lnt的最小值為1，從而得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，解這個關于x₁+x₂的一元二次不等式即可得出要證的結論．

解答 證明：由f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，
即lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂+x₁x₂=0，
從而（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
令t=x₁x₂，則由h（t）=t-lnt得，h′（t）=$\frac{t-1}{t}$，
可知，h（t）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
∴h（t）≥h（1）=1，
∴（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，又x₁+x₂＞0，
因此x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及換元思想，考查不等式的證明，是一道中檔題．