Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DB、AC的延長線相交于點P，PE垂直于AB的延長線于點E．
（Ⅰ）求證：∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）若∠PAE=30°，EB=1，PB=2BD，求PE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC，由四邊形對角互補，證明P，C，B，E四點共圓，可得∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為r，PE=x，求得三角形ABC的三邊，以及PA，連接AD，可得AD⊥BD，運用三角形相似可得BD²=r；再由圓的切割線定理，可得PB•BD=AB•BE，化簡整理，解得r=1，進而得到所求長．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接BC，由AB是⊙O的直徑，
可得AC⊥BC，
又PE⊥AB，即有∠PCB=∠PEB，
則P，C，B，E四點共圓，
可得∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）設(shè)圓的半徑為r，PE=x，
在直角三角形ABC中，∠CAB=30°，
可得AB=2r，BC=r，AC=$\sqrt{3}$r，
在直角三角形PAE中，AE=2r+1，PA=$\sqrt{{x}^{2}+（1+2r）^{2}}$，
且tan30°=$\frac{x}{1+2r}$，即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
即PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
連接AD，可得AD⊥BD，
由∠ADB=∠PEB=90°，∠ABD=∠PBE，
可得△ABD∽△PBE，即有$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BD}{BE}$，
即PB•BD=AB•BE，即有2BD²=2r，
即BD²=r；
又由圓的切割線定理，可得PB•PD=PC•PA，
則2BD•3BD=（PA-AC）•PA
即為6r=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r）-$\sqrt{3}$r）•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
化簡可得r=1，
即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1+2r）=$\sqrt{3}$．
則PE的長為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的切割線定理、同弧所對的圓周角相等、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理的運用，以及勾股定理，考查推理和運算能力，屬于中檔題．