Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}中，滿足a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

Answer 1

分析 判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列求和公式求解即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}中，滿足a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，
可得a₁+a₂+…+a_n-1=3^n-1-1，
可得a_n=2•3^n-1，由a₁=2，滿足題意，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，
則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比數(shù)列，首項(xiàng)為：$\frac{1}{2}$，等比為：$\frac{1}{3}$，
所以：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
故答案為：$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，等比數(shù)列的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．