Question

已知A，B兩點(diǎn)分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，若

AB

•

BF

＞0，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意可得，a²+a²+b²＜（a+c）²，而橢圓的離心率e=

c

a

∈（0，1），從而可求得該橢圓的離心率的取值范圍．

解答： 解：依題意，|BF|=a，|AF|=a+c，|BA|²=a²+b²，
∵∠FBA為鈍角，
∴|BF|²+|BA|²＜|AF|²，
即a²+a²+b²＜（a+c）²，
∴c²+ac-a²＞0，等號兩邊同除以a²得，e²+e-1=0，
∴e＞

5 -1

2

或e＜

- 5 -1

2

（舍），
又e∈（0，1），
∴

5 -1

2

＜e＜1．
∴該橢圓的離心率的取值范圍是（

5 -1

2

，1）．
故答案為：（

5 -1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查a，b，c之間關(guān)系的靈活應(yīng)用，考查三角形的性質(zhì)及橢圓的離心率，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．