Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=

π

3

，則橢圓和雙曲線的離心率的乘積的最小值為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長a₂，焦距2c．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找a₁，a₂，c之間的關系，而根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根據(jù)余弦定理可得到：

1

e12

+

3

e22

=4，利用基本不等式可得結論．

解答： 解：如圖，設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
設|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=

π

3

，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos

π

3

∴化簡得：a12+3a22=4c2，
該式可變成：

1

e12

+

3

e22

=4，
∴

1

e12

+

3

e22

=4≥

2 3

e1e2

∴e₁e₂≥

3

2

，
故選B．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．