Question

集合M={1，2…，2014}，若X⊆M，X≠∅，a_x為X中最大數(shù)與最小數(shù)的和（若集合中只有一個元素，則此元素既為最大數(shù)，又為最小數(shù)），那么，對M的所有非空子集X，全部a_x的平均值為

 

．

Answer 1

考點：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：因為對于M的任一非空子集X={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的對稱集X′={2015-n₁，2015-n₂，2015-n₃，…}，
對稱集的最大值與最小值的平均數(shù)為2015．

解答： 解：對于M的任一非空子集X={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的對稱集X′={2015-n₁，2015-n₂，2015-n₃，…}． 
例如：當(dāng)X={1，2，4，6}，則X′={2014，2013，2011，2009} 
對于M的所有非空子集X和它的對稱集X′，分成兩種情況：
A）X=X′
B）X≠X′
設(shè)X的最大數(shù)與最小數(shù)分別為max，min 
如果X=X′，則max+min=max+（2015-max）=2015
如果X≠X′，則X′的最大數(shù)與最小數(shù)分別為2015-min，2015-max，
X與X′中最大數(shù)與最小數(shù)之和的算術(shù)平均數(shù)=[（max+min）+（2015-min+2015-max）]÷2=2015
綜上，所求的算術(shù)平均數(shù)也是2015
故答案為：2015

點評：解決集合間的包含關(guān)系，應(yīng)該利用集合關(guān)系的定義進行解決．