Question

8．已知f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$x^k（n∈N^*）．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)；
（2）證明：C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$．

Answer 1

分析 （1）利用f_n（x）=（1+x）ⁿ，即可求出g（x）中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)；
（2）令h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n•（1+x）^m+n，利用錯(cuò)位相減法，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$x^k（n∈N^*）=${C}_{n}^{0}$•x⁰+${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+${C}_{n}^{n}$•xⁿ=（1+x）ⁿ，
g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x）=（1+x）⁴+2（1+x）⁵+3（1+x）⁶，
故g（x）中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{4}^{4}$+2${C}_{5}^{4}$+3${C}_{6}^{4}$=56．
（2）證明：∵C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=${C}_{m+1}^{m+1}$+2${C}_{m+2}^{m+1}$+3${C}_{m+3}^{m+1}$+…+n${C}_{m+n}^{m+1}$，
令h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n•（1+x）^m+n． 
則函數(shù)h（x）中含x^m+1項(xiàng)的系數(shù)為 C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+n${C}_{m+n}^{m+1}$，…（5分）
同乘1+x，由錯(cuò)位相減法得：-xh（x）=（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+（1+x）^m+3+…+（1+x）^m+n-n•（1+x）^m+n+1=$\frac{（1+x）^{m+1}[1-（1+x）^{n}]}{1-（1+x）}$-n•（1+x）^m+n+1，
∴x²h（x）=（1+x）^m+1-（1+x）^m+n+1+n•（1+x）^m+n+1，
h（x）中含x^m+1項(xiàng)的系數(shù)，即是等式左邊含x^m+3項(xiàng)的系數(shù)，等式右邊含x^m+3項(xiàng)的系數(shù)為-${C}_{m+n+1}^{m+3}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$，…（7分）
-${C}_{m+n+1}^{m+3}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=-$\frac{（m+n+1）!}{（m+3）!（n-2）!}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=-$\frac{n-1}{m+3}$${C}_{m+n+1}^{m+2}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$，
所以C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$．     …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于中檔題．