Question

7．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)A（3，-6$\sqrt{2}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系，可設(shè)雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=m（m≠0），代入點(diǎn)A（3，-6$\sqrt{2}$），可得m，即可得到所求雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，向量的模的公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1有共同的漸近線，可設(shè)雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=m（m≠0），
代入點(diǎn)A（3，-6$\sqrt{2}$），可得：
m=$\frac{9}{3}$-$\frac{72}{27}$=$\frac{1}{3}$，
即有雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得F₁（-$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0），
由∠F₁PF₂=90°，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}}$=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=2$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法和運(yùn)用，注意雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系，考查向量垂直的條件和向量的模的求法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．