Question

2．如圖，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H為垂足，CD=4，AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=90°，以CD為軸，將△ACD按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△BCD位置，E為AD中點(diǎn)；
（Ⅰ）證明：AB⊥CD．
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直得到線線垂直，
（2）分別以HA，HB，HD為x，y，z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系H-xyz，分別求出平面的BCE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{HB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）為平面DEC的一個(gè)法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求出．

解答 證明：（1）∵DC⊥AH，DC⊥BH，AH∩BH=H，
∴DC⊥平面ABH，
又AB?平面ABH，
∴AB⊥CD．
（Ⅱ）分別以HA，HB，HD為x，y，z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系H-xyz，
由已知條件不難求得，AH=BH=$\sqrt{3}$，HD=3，BC=1，
∴A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，-1），D（0，0，3），
又點(diǎn)E為中點(diǎn)，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），HB=（0，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面的BCE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{3}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，z=-$\frac{3}{5}$，
∴平面的BCE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
又HB⊥平面DCE，
∴$\overrightarrow{HB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）為平面DEC的一個(gè)法向量，
設(shè)所求的二面角是θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{HB}|}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{3+\frac{3}{25}+\frac{9}{25}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{29}}{29}$

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與直線垂直的判定，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．