Question

20．已知f（x）=$\sqrt{4+\frac{1}{{x}^{2}}}$，點(diǎn)P_n（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）在曲線y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入f（x）的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；
（2）由（1）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，由a_n＞0求出a_n．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)P_n（a_n，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）在曲線f（x）=$\sqrt{4+\frac{1}{{x}^{2}}}$上，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}}$，則$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$=4+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，
又a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）可得，$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
則${{a}_{n}}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$，
由a_n＞0得，a_n=$\sqrt{\frac{1}{4n-3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及化簡(jiǎn)、變形能力．