Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$，a＞0（x∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥2x-6的解集；
（2）若a=2時(shí)，f（x）＞m恒成立，求m的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入，分類(lèi)討論，解不等式f（x）≥2x-6，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）將a=2代入，求出函數(shù)f（x）的最大值，進(jìn)而根據(jù)f（x）＞m恒成立，求m的取值范圍；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$在（-∞，a]上為減函數(shù)，在[a，+∞）上為增函數(shù)，若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，則-3＜a＜5，且f（-3）=3-a=0，解出a值，并檢驗(yàn)可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，}&{x≥6}\\{3x-10，}&{2＜x＜6}\\{-x-2，}&{x≤2}\end{array}\right.$，
若x≥6，由f（x）≥2x-6得x+2≥2x-6，解得x≤8，此時(shí)6≤x≤8，
若2＜x＜6，由f（x）≥2x-6得3x-10≥2x-6，解得x≥4，此時(shí)4≤x＜6，
若x≤2，由f（x）≥2x-6得-x-2≥2x-6，解得x≤$\frac{4}{3}$，此時(shí)x≤$\frac{4}{3}$，
綜上4≤x≤8或x≤$\frac{4}{3}$，即不等式f（x）≥2x-6的解集為[4，8]∪（-∞，$\frac{4}{3}$]
（2）若a=2時(shí)，
若x≥6，f（x）=x+2≥8，
若2＜x＜6，由f（x）=3x-10∈（-4，8），
若x≤2，由f（x）=-x-2≥-4，
綜上f（x）≥-4，
若f（x）＞m恒成立，則m≤-4，
即m的取值范圍為m≤-4；
（3）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$在（-∞，a]上為減函數(shù)，在[a，+∞）上為增函數(shù)，
若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，
則-3＜a＜5，且f（-3）=3-a=0，解得：a=3，
當(dāng)a=3時(shí)，（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+3，（x≥9）\\ 3x-15，（3＜x＜9）\\-x-3，（x≤3）\end{array}\right.$滿足不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，
故a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想是解答分段函數(shù)問(wèn)題的必要手段，必須熟練掌握．