【題目】如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，

.

（1）證明： ；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點為，連接，由正三角形性質(zhì)得，由矩形的性質(zhì)得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結論；（2）的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角的余弦公式可得結果.

試題解析：（1）取的中點為，連接， 為等邊三角形， .底面中，可得四邊形為矩形， ， 平面， 平面.又，所以.

（2）由面面知， 平面， 兩兩垂直，直線與平面所成角為，即，由，知，得.分別以的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 ， ， 設平面的法向量為.，則，設平面的法向量為， ，則， ,由圖可知二面角的余弦值.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】1994年到2016年所有關于某項研究成果的540篇論文分布如下圖所示.

(1)從這540篇論文中隨機抽取一篇來研究,那么抽到2016年發(fā)表論文的概率是多少?

(2)如果每年發(fā)表該領域有國際影響力的論文超過50篇,我們稱這一年是該領域的論文“豐年”.若從1994年到2016年中隨機抽取連續(xù)的兩年來研究,那么連續(xù)的兩年中至少有一年是“豐年”的概率是多少?

(3)由圖判斷,從哪年開始連續(xù)三年論文數(shù)量方差最大?(結論不要求證明)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函數(shù)y=lg（﹣x2+5x+14）的定義域為集合B．
（1）若a=4，求集合A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓的圓心為，直線.

(1)求圓心的軌跡方程；

(2)若，求直線被圓所截得弦長的最大值；

(3)若直線是圓心下方的切線，當在上變化時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有同一型號的電腦96臺,為了了解這種電腦每開機一次所產(chǎn)生的輻射情況,從中抽取10臺在同一條件下做開機實驗,測量開機一次所產(chǎn)生的輻射,得到如下數(shù)據(jù):

13.7　12.9　14.4　13.8　13.3

12.7　13.5　13.6　13.1　13.4

(1)寫出采用簡單隨機抽樣抽取上述樣本的過程;

(2)根據(jù)樣本,請估計總體平均數(shù)與總體標準差的情況.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若存在兩個正實數(shù)m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em﹣2n）=3m成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（0， ]
C.[ ，+∞）
D.（﹣∞，0）∪[ ，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列4個命題： ①“若a、G、b成等比數(shù)列，則G2=ab”的逆命題；
②“如果x2+x﹣6≥0，則x＞2”的否命題；
③在△ABC中，“若A＞B”則“sinA＞sinB”的逆否命題；
④當0≤α≤π時，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對x∈R恒成立，則α的取值范圍是0≤α≤ ．
其中真命題的序號是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)銷售總公司為了解其經(jīng)營狀況，調(diào)查了其下屬各分公司月銷售額和利潤，得到數(shù)據(jù)如下表：

分公司名稱

雅雨

雅雨

雅女

雅竹

雅茶

月銷售額x（萬元）

3

5

6

7

9

月利潤y（萬元）

2

3

3

4

5

在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)月銷售額x和月利潤額y具有線性相關關系．
（Ⅰ）根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求月利潤y與月銷售額x之間的線性回歸方程；
（Ⅱ）若該總公司還有一個分公司“雅果”月銷售額為10萬元，試求估計它的月利潤額是多少？（參考公式： = ， = ﹣ ，其中： =112， =200）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c= ≤a，求2a﹣b的取值范圍．

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