Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（1）若f（1）=0，求函數(shù)的最大值
（2）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）代入f（1）=ln1-$\frac{1}{2}$a+1=0，求a值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值
（2）求g'（x）=$\frac{-a（x+1）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，利用二次函數(shù)知識(shí)對(duì)a進(jìn)行分類討論得出g（x）的單調(diào)區(qū)間

解答 解：（1）f（1）=ln1-$\frac{1}{2}$a+1=0，
∴a=2，
∴f（x）=lnx-x²+x，
f'（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1
=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），
∴函數(shù)的最大值為f（1）=0；
（2）g（x）=f（x）-（ax-1）
=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x-ax+1，
g'（x）=$\frac{-a（x+1）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$； 令g'（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
 顯然，在（0，+∞）上，g'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=0時(shí)，g'（x）=$\frac{x+1}{x}$，
 顯然，在（0，+∞）上，g'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考察了導(dǎo)函數(shù)求最值和二次函數(shù)分類討論問題，注意定義域的問題．