Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
（2）列舉出具有這樣性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證．

Answer 1

分析 （1）由條件，利用賦值法求f（0），f（$\frac{1}{2}$）的值．利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件，利用兩次條件證明函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性．
（2）函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=2x+1，然后逐一令驗(yàn)證：對m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞0．

解答 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
∵f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）=f（0）=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$）-1，
即1=f（$\frac{1}{2}$）-1，解得f（$\frac{1}{2}$）=2．
任意設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1=f（x₂-x₁），
即f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1=f（x₂-x₁-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）=f（x₂-x₁-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-1-1=f（x₂-x₁-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-2=f（x₂-x₁-$\frac{1}{2}$），
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂-x₁-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，此時(shí)f（x₂-x₁-$\frac{1}{2}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)．
（2）不妨取：f（x）=2x+1，
對m，n∈R恒有f（m+n）=2m+2n+1
f（m）+f（n）-1=2m+1+2n+1-1=2m+2n+1，
滿足f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
f（-$\frac{1}{2}$）=2×$（-\frac{1}{2}）$+1=0，
當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2x+1＞0，成立，
并且函數(shù)f（x）=2x+1，是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷、抽象不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，抽象函數(shù)的單調(diào)性常用定義解決，抽象不等式的求解往往轉(zhuǎn)化為具體不等式處理．