Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

1

2|x|

．
（1）求f（-4）的值；
（2）若f（x）=2，求x的值；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入計算即可
（2）當(dāng)x≤0時得到f（x）=0而f（x）=2，所以無解；當(dāng)x＞0時解出f（x）=2求出x即可；
（3）由 t∈[1，2]時，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=2^t-

1

2t

，代入得到m的范圍即可．

解答： 解：（1）f（-4）=2^-4-

1

2|-4|

=0
（2）依題意得，）=2^x-

1

2|x|

=2，（*）
當(dāng)x≤0時，f（x）=0，故方程f（x）=2無解
當(dāng)x＞0時，方程（*）變形為，2^x-

1

2x

=2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2^x=1±

2

，（負值舍去）
∴2^x=1+

2

，
∴x=log₂（1+

2

）．
（3）當(dāng)t∈[1，2]時，2^t（2^2t-

1

2|2t|

）+m（2^t-

1

2|t|

）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．
∵2^2t-1＞0，
∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，
∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范圍是[-5，+∞）．

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，因為只有通過轉(zhuǎn)化才能使恒成立問題等到簡化；轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運用，同時轉(zhuǎn)化過程更提出了等價的意識和要求．