Question

過拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k₁，k₂的兩條不同直線l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁與E交于點(diǎn)A，B，l₂與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l．
（I）若k₁＞0，k₂＞0，證明：；
（II）若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出兩條直線的方程，由兩條直線方程和拋物線方程聯(lián)立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標(biāo)，求出向量和的坐標(biāo)，求出數(shù)量積后轉(zhuǎn)化為關(guān)于k₁和k₂的表達(dá)式，利用基本不等式放縮后可證得結(jié)論；
（Ⅱ）利用拋物線的定義求出圓M和圓N的直徑，結(jié)合（Ⅰ）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標(biāo)，寫出兩圓的方程，作差后得到兩圓的公共弦所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線l的距離，利用k₁+k₂=2轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的代數(shù)式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，則拋物線E的方程可求．
解答：解：（I） 由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為，直線l₁的方程為．
由，得．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
從而x₁+x₂=2pk₁，．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，．
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，．
于是．
由題設(shè)k₁+k₂=2，k₁＞0，k₂＞0，k₁≠k₂，所以0＜．
故．
（Ⅱ）由拋物線的定義得，，
所以，從而圓M的半徑．
故圓M的方程為，
化簡得．
同理可得圓N的方程為
于是圓M，圓N的公共弦所在的直線l的方程為．
又k₂-k₁≠0，k₁+k₂=2，則l的方程為x+2y=0．
因?yàn)閜＞0，所以點(diǎn)M到直線l的距離為
=．
故當(dāng)時(shí)，d取最小值．由題設(shè)，解得p=8．
故所求拋物線E的方程為x²=16y．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．