Question

已知，．

（Ⅰ）設(shè)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）求證：對(duì)任意的恒成立；

（Ⅲ）若，且，求證：．

Answer 1

解：（1），，則 ，∴圖像在處的切線方程為即    

（2）令，       

則

∵與同號(hào)  ∴  ∴

∴  ∴在單調(diào)遞增                               

又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增  ∴

∴  即對(duì)任意的恒成立                   

（3）由（2）知                                           

  則           

                    

  由柯西不等式得

  ∴                                  

  同理  

  三個(gè)不等式相加即得證。