Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上.

（1）若，求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值；

（2）若直線(xiàn)與平面所成角為，試確定點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn).

【解析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得到，，再代入向量夾角公式計(jì)算，即可得答案；

（2）設(shè)，得，直線(xiàn)與平面所成角為，得到關(guān)于的方程，解方程即可得到點(diǎn)的位置.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1）因?yàn)?/span>，所以.

所以，.

所以.

所以異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為.

（2）由，，，

知，.

設(shè)平面的法向量為，由得，

令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，所以可設(shè)，所以，

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角為，所以.

由，得，

解得或.

因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，所以，

即點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).