Question

5．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，實數(shù)x，y滿足f（x²-4y）+f（4x-y²）≥0，若點M（3，1），N（x，y），則當(dāng)-5≤x≤-2時，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值為-8（其中O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

分析 可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在$\left\{\begin{array}{l}{（x-y）（x+y+4）≥0}\\{-5≤x≤-2}\end{array}\right.$之下，求z=3x+y的最大值的線性規(guī)劃問題，作圖可得．

解答 解：∵f（x）=2^x-2^-x，∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=2^x-2^-x為奇函數(shù)，
又易判f（x）=2^x-2^-x=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$為R上的增函數(shù)，
∴f（x²-4y）+f（4x-y²）≥0
可化為f（x²-4y）≥-f（4x-y²），
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x²-4y）≥f（-4x+y²），
∴x²-4y≥-4x+y²，變形可得（x-y）（x+y+4）≥0，
又∵點M（3，1），N（x，y），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+y，
問題轉(zhuǎn)化為在$\left\{\begin{array}{l}{（x-y）（x+y+4）≥0}\\{-5≤x≤-2}\end{array}\right.$之下，求z=3x+y的最大值的線性規(guī)劃問題，
作出圖象可知當(dāng)目標(biāo)直線l經(jīng)過圖中的點A時，z=3x+y取最大值，
令x=-2，可得A（-2，-2），
代入計算可得z=3x+y的最大值為z_max=3×（-2）-2=-8．
故答案為：-8．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及函數(shù)的單調(diào)性奇偶性以及線性規(guī)劃問題，屬中檔題．