Question

14．某廣告公司設(shè)計一個商標(biāo)圖案ABCDEFGH，它的中間是一個正方形BDFH，外面是四個全等的等腰三角形，AB=AH=1，∠BAH=2α．
（1）若α=$\frac{π}{3}$時，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$的值；
（2）當(dāng)α取何值時，該商標(biāo)圖案ABCDEFGH所圍成的面積S最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，可得AB=AH=1，∠BAH=2α=$\frac{2π}{3}$．可得A$（0，\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$，B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．
（2）S_△ABH=$\frac{1}{2}•sin2α$．S_{正方形BDFH}=4sin²α．可得S_圖案=2$\sqrt{2}$$sin（2α-\frac{π}{4}）$+2．利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
∵AB=AH=1，∠BAH=2α=$\frac{2π}{3}$．
∴BD=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
A$（0，\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$，B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}$=$（0，-\sqrt{3}-1）$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$=0-$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}$-1）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）S_△ABH=$\frac{1}{2}×1×1×sin2α$=$\frac{1}{2}•sin2α$．
S_{正方形BDFH}=（2sinα）²=4sin²α．
∴S_圖案=$4×\frac{1}{2}sin2α$+4sin²α
=2sin2α+2（1-cos2α）
=2$\sqrt{2}$$sin（2α-\frac{π}{4}）$+2．
∵0＜2α＜π，∴$-\frac{π}{4}＜2α-\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$．
∴當(dāng)$2α-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{3π}{8}$時，$sin（2α-\frac{π}{4}）$=1，S_圖案取得最大值$2\sqrt{2}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式與倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．