Question

13．已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知A，B的坐標，可用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．
（2）①QP其實就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的差，二次函數(shù)的解析式在（1）中已經求出，而一次函數(shù)可根據B，C的坐標，用待定系數(shù)法求出．那么讓一次函數(shù)的解析式減去二次函數(shù)的解析式，得出的新的函數(shù)就是關于PQ，x的函數(shù)關系式，那么可根據函數(shù)的性質求出PQ的最大值以及相對應的x的取值．
②分三種情況進行討論：當∠QOA=90°時，Q與C重合，顯然不合題意．因此這種情況不成立；
當∠OAQ=90°時，P與A重合，因此P的坐標就是A的坐標；當∠OQA=90°時，如果設QP與x軸的交點為D，那么根據射影定理可得出DQ²=OD•DA．由此可得出關于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數(shù)式中即可得出P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+2=0}\\{36a+6b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{9}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的函數(shù)表達式是y=$\frac{1}{9}$x²-x+2．
（2）①∵當x=0時，y=2，
∴點C的坐標為（0，2）．
設直線BC的函數(shù)表達式是y=kx+h．
則有$\left\{\begin{array}{l}{6k+h=0}\\{h=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{h=2}\end{array}\right.$．
∴直線BC的函數(shù)表達式是y=-$\frac{1}{3}$x+2．
∵0＜x＜6，點P、Q的橫坐標相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-$\frac{1}{3}$x+2）-（$\frac{1}{9}$x²-x+2）
=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x
=-$\frac{1}{9}$（x-3）²+1
∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．
②解：當∠OAQ′=90°時，點P與點A重合，
∴P（3，0）
當∠Q′OA=90°時，點P與點C重合，
∴x=0（不合題意）
當∠OQ′A=90°時，
設PQ′與x軸交于點D．
∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，
∴∠OQ′D=∠Q′AD．
又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，
∴△ODQ′∽△Q′DA．
∴$\frac{DQ'}{OD}$=$\frac{DA}{DQ'}$，即DQ′²=OD•DA．
∴（-$\frac{1}{3}$x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{12}{5}$，
∴y₁=$\frac{1}{9}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{3}{4}$；
y₂=$\frac{1}{9}$×（$\frac{12}{5}$）²-$\frac{12}{5}$+2=$\frac{6}{25}$；
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{25}$）．
∴所求的點P的坐標是P（3，0）或P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{25}$）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，用數(shù)形結合的思想來求解是解題的基本思路．