Question

將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}排成如下所示的三角形數(shù)陣（第n行有n個(gè)數(shù)，同一行中，下標(biāo)小的數(shù)排在左邊）．b_n表示數(shù)陣中，第n行、第1列的數(shù)．已知數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且從第3行開始，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列（第3行的3個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列；第4行的4個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，…），a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．

（1）求數(shù)陣中第m行、第n列的數(shù)A（m，n）（用m、n表示）．
（2）求a₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）依題意，a₁₂為數(shù)陣中第5行、第2列的數(shù)；a₁₈為數(shù)陣中第6行、第3列的數(shù)．求出公差與公比，即可求數(shù)陣中第m行、第n列的數(shù)A（m，n）（用m、n表示）．
（2）a₂₀₁₄為數(shù)陣中第63行，第61列的數(shù)，即可求a₂₀₁₄的值．

解答： 解：（1）設(shè){b_n}的公比為q．
依題意，a₁₂為數(shù)陣中第5行、第2列的數(shù)；a₁₈為數(shù)陣中第6行、第3列的數(shù)．
∴b₁=1，bn=qn - 1，a12=q4+d=17，a18=q5+2d=34．…（3分）
∴q=2，d=1，bn=2n - 1．
∴A(m ， n)=bm+(n-1)d=2 m - 1+n-1．         …（6分）
（2）由1+2+3+…+62=1953，1+2+3+…+62+63=2016，2013-1953=60知，a₂₀₁₄為數(shù)陣中第63行，第61列的數(shù)．
∴a₂₀₁₄=2⁶³+61．                       …（12分）

點(diǎn)評：本題是規(guī)律探究型題目，此題要發(fā)現(xiàn)各行的數(shù)字個(gè)數(shù)和行數(shù)的關(guān)系，從而進(jìn)行分析計(jì)算．