Question

已知圓C的圓心在直線y=-4x上，且與直線x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓C方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M（0，1）與點(diǎn)N關(guān)于直線x-y=0對稱．是否存在過點(diǎn)N的直線l，l與圓C相交于E、F兩點(diǎn)，且使三角形S_△OEF=2

2

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出直線l的方程，若不存在用計(jì)算過程說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）過切點(diǎn)P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線為y=x-5，與直線y=-4x聯(lián)立，解得圓心為（1，-4），由此能求出圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)N（a，b），由點(diǎn)M（0，1）與點(diǎn)N關(guān)于直線x-y=0對稱，得N（1，0），當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l方程為x=1，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=k（x-1），由點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件推導(dǎo)出不存在這樣的實(shí)數(shù)k．從而所求的直線方程為x=1．

解答： 解：（Ⅰ）過切點(diǎn)P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
與直線y=-4x聯(lián)立，解得圓心為（1，-4），…（2分）
所以半徑r=

(3-1)2+(-2+4)2

=2

2

所以所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)N（a，b），∵點(diǎn)M（0，1）與點(diǎn)N關(guān)于直線x-y=0對稱，
∴

b+1 2 = a 2 b-1 a =-1

⇒a=1，b=0，∴N（1，0）…（5分）
注意：若沒證明，直接得出結(jié)果N（1，0），不扣分．
（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l方程為x=1，
原點(diǎn)到直線的距離為d=1，同時(shí)令x=1，
代人圓方程得y=-4±2

2

，
所以|EF|=4

2

，所以S△OEF=

1

2

×1×4

2

=2

2

滿足題意，
此時(shí)方程為x=1．…（8分）
（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=k（x-1），即kx-y-k=0
圓心C（1，-4）到直線l的距離d=

|k+4-k|

k2+1

=

4

k2+1

，…（9分）
設(shè)EF的中點(diǎn)為D，連接CD，則必有CD⊥EF，
在Rt_△CDE中，DE=

8-d2

=

8- 16 k2+1

=

2 2 k2-1

k2+1

所以EF=

4 2 k2-1

k2+1

，…（10分）
而原點(diǎn)到直線的距離為d1=

|k|

k2+1

，
所以S△OEF=

1

2

•

4 2 k2-1

k2+1

•

|k|

k2+1

=

2 2 |k| k2-1

k2+1

=2

2

，…（12分）
整理得3k²+1=0，不存在這樣的實(shí)數(shù)k．
綜上所述，所求的直線方程為x=1．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．