Question

11．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cosθ=0，在以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸的直角坐標(biāo)系中，曲線D的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{3}cosβ\\ y=-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}sinβ\end{array}\right.（β$為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和曲線D的普通方程；
（2）過原點(diǎn)且傾斜角為α（$\frac{π}{6}$≤α＜$\frac{π}{2}$）的直線l與曲線C，D分別相交于M，N兩點(diǎn)（M，N異于原點(diǎn)），求|OM|+|ON|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的對應(yīng)關(guān)系即可得出答案；
（2）求出曲線D的極坐標(biāo)方程，從而可得出|OM|，|ON|關(guān)于θ的表達(dá)式，根據(jù)三角恒等變換與θ的范圍可得出|OM|+|ON|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為：ρ²-4ρcosθ=0，
∴曲線C的普通方程為x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
由曲線D的參數(shù)方程可得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}cosβ=x}\\{2\sqrt{3}sinβ=y+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴曲線D的普通方程為x²+（y+2$\sqrt{3}$）²=12．
（2）曲線D的極坐標(biāo)方程為ρ+4$\sqrt{3}$sinθ=0，
∴|OM|=4cosθ，|ON|=-4$\sqrt{3}$sin（θ+π）=4$\sqrt{3}$sinθ，
∴|OM|+|ON|=4cosθ+4$\sqrt{3}$sinθ=8sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$≤α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤8sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴|OM|+|ON|的取值范圍是[4$\sqrt{3}$，8]．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．